집합이란 주어진 조건에 의하여 그 대상이 분명히 결정되는 모임입니다. 그리고 집합에 속해 있는 대상을 원소라고 부르죠.
두 집합에 대해서 어느 한 집합의 모든 원소들이 다른 한 집합의 원소일 때, 어느 한 집합을 다른 한 집합의 부분집합이라고 합니다.
우리는 필요에 따라 여러 개의 집합을 정의할 수 있습니다. 대표적으로 합집합, 교집합, 차집합을 정의할 수 있습니다.
합집합
합집합은 집합의 정의상 주어진 조건이 '두 집합이 있을 때, 한쪽 집합에 속하거나 또는 다른 한 쪽 집합에 속한다'입니다. 이 조건에 맞는 원소들의 모임이 바로 합집합이죠.
교집합
교집합은 집합의 정의에 의하면 주어진 조건이 '두 집합이 있을 때, 한쪽 집합에도 속하고 다른 한 쪽 집합에도 속한다.'에 맞는 원소들의 모임입니다.
차집합(relative complement;상대적 보충물)
차집합의 경우, 정의로 주어진 조건을 살펴보면 '두 집합이 있을 때, 한쪽 집합에는 속하지만 다른 한 쪽 집합에는 속하지 않는다.'입니다. 차집합의 정의는 곧 여집합의 정의로 이어지는데요, 여집합의 정의는 전체집합과 그 집합에 속하는 어느 한 집합(전체집합의 부분집합)을 전제로 할 때 성립됩니다. 이 전제에 의하면 여집합은 전체집합에는 속하지만, 전체집합의 부분집합으로 정의된 집합에는 속하지 않는 집합입니다. 즉 차집합의 정의와 여집합의 정의는 말만 다를 뿐 정확히 같습니다.
여집합은 전체집합 속에 하나의 집합을 대상으로 했지만, 이를 두 개의 집합을 대상으로 확장할 수도 있습니다. 그러면 합집합, 교집합, 여집합 사이의 관계를 정의할 수가 있게 되는데, 이 때 나오는 법칙을 De Morgan’s Law라고 부릅니다.
드모르간의 법칙은 전기전자의 논리식에서 주로 쓰이는 개념이기도 합니다. 드모르간의 법칙은 굳이 깊게 정의하려 하지 말고 그저 상상해보는 걸로 이해하면 됩니다. 전체집합이 있고 그 안에 두 집합(전체집합의 두 부분집합)이 있을 때, 두 집합의 합집합의 여집합은 곧 두 집합 어디에도 속해있지 않는다는 조건이므로, 어느 한 집합의 여집합과 다른 한 집합의 여집합의 ‘교집합’이면 됩니다.
또한 두 집합의 교집합의 여집합은 곧 두 집합의 교집합만 아니면 그 어디든 상관없다는 조건이므로, 어느 한 집합의 여집합과 다른 한 집합의 여집합의 ‘합집합’이면 됩니다.
저는 처음에 왜 합집합의 여집합이 교집합인지 그리고 교집합의 여집합이 합집합인지를 대수적으로 설명하려고 했는데 잘 되지 않았습니다. 하지만 그저 그림을 그려보거나 상상해보는 것만으로도 충분했습니다.
드모르간 관련 Pyhton 코드는 다음과 같습니다.
x = int(raw_input("Enter a value for x: "))y = int(raw_input("Enter a value for y: "))print (not(x < 15 and y >= 3))print (x >= 15 or y < 3)