Research/미적분학

때로는 직교좌표계에서의 영역 R을 다루는 것 보다는, 직교좌표를 극좌표로 전환한 극좌표계에서의 영역 R을 이용하여 이중적분을 수행하는 것이 더 쉬울 수 있다. 직교좌표와 극좌표간의 관계는 다음과 같음을 상기한다. 직교좌표가 아닌 극좌표계에서 영역 R을 다루게 된다면, 영역 R은 다음과 같이 r과 theta에 대한 범위로 바뀐다. 우리는 이전의 장들에서 이중적분을 구하기 위해서 영역R을 부분영역으로 나누었다. 이와 마찬가지로, 극좌표계에서의 영역R을 부분영역으로 나누어 다루도록 한다. 극좌표계에서의 영역R은 다음 그림과 같은 부채꼴의 모습을 기본으로 한다. 부채꼴의 모습을 한 영역 R을 부분영역으로 나누어 하나의 부분영역에 대한 넓이를 구해야 한다. 즉 다음의 그림의 상황에서처럼 부분영역Rij에 대한 넓이..

14.1절과 14.2절에서 우리는 직사각형의 영역에 대해서 이중적분을 수행했다. 14.3절에서는 직사각형의 영역뿐만 아니라 좀 더 일반적인 영역 R에 대해서 이중적분을 수행하게 된다. 하지만 일반적인 영역 R에 대해 이중적분을 수행할 때 우리는 직사각형 모양의 임의의 영역을 설정하여 구하게 된다. 위 그림에서 보는바와 같이 임의의 영역 D에 대해서 이중적분을 수행하고자 할 때 파란색의 직사각형을 D의 경계에 fit하게 위치시킨 것을 볼 수 있다. 특히 위의 그림에서 보는바와 같이 x의 영역 a와 b에 대해서 직사각형이 접하고 있을 땐, y의 범위가 x에 대한 함수인 g(x)의 형태로 나타나게 된다. 즉 곡선의 모양인 y는 함수로서 나타낼 수 있으며, 이에 대한 이중적분은 다음과 같이 나타난다. 그 반대의..

14.1 이중적분( Double Integrals)에서 이중적분을 성공적으로 정의했다. 하지만 실제로 이중적분을 계산하여 사용하기엔 무리가 있다. 따라서 의 영역 내에서 이중적분을 쉽게 계산하기 위한 테크닉을 알아야 한다. 그 테크닉은 영역 에서 반복적분을 수행하는 것을 말한다. 즉 현재까지 이중적분을 구할 수 있는 방법은 의 영역에서는 두 가지다. 하나는 의 영역을 부분영역으로 나누어서 구하는 방법, 또 하나는 반복적분을 이용하는 것이다. 반복적분은 단순하게 말하자면 다음과 같다. 기본적으로 이 절은 테크닉과 관련있는 절로서 깊은 개념은 없다. 안쪽에 있는 적분을 먼저 적분한 후 그 다음 바깥쪽에 대해 적분한다. 이를 편적분이라고 부른다. 즉 마치 하나의 적분을 계산하는 것과 같이 x를 상수취급한 후 ..

이중적분에 대해 알아보기 전에 단일변수로 이루어진 함수에 대한 적분의 정의에 대해 먼저 짧게나마 복습이 필요하다. 우선 다음과 같은 적분이 있을 때, x의 범위는 곧 임을 알 수 있다. 즉 위 적분식을 통해 우리는 '의 범위에 대해 적분을 한다'고 말할 수 있다. 그리고 이 때에는 를 가정하는 것이다. 물론 도 가능한데, 그 때에는 의 범위가 된다. 또한 단일변수에서는 면적의 문제로 적분을 정의할 수 있다. 의 범위에서 적분은 곡선 아래의 면적으로서 생각할 수 있다. 이 때 의 범위는 n개의 부분구간으로 잘게 나누어지며, 이 때의 부분구간들의 간격은 공통적으로 로서 서로 같은 크기를 갖게 된다. 그러고 나서 각 부분구간에서 하나의 특정한 샘플 포인트 를 선택하면 다음과 같이 생각할 수 있다. 그래프에서 ..