이중적분에 대해 알아보기 전에 단일변수로 이루어진 함수에 대한 적분의 정의에 대해 먼저 짧게나마 복습이 필요하다. 우선 다음과 같은 적분이 있을 때,
x의 범위는 곧
임을 알 수 있다. 즉 위 적분식을 통해 우리는 '
의 범위에 대해 적분을 한다'고 말할 수 있다. 그리고 이 때에는
를 가정하는 것이다. 물론
도 가능한데, 그 때에는
의 범위가 된다.
또한 단일변수에서는 면적의 문제로 적분을 정의할 수 있다.
의 범위에서 적분은 곡선 아래의 면적으로서 생각할 수 있다. 이 때
의 범위는 n개의 부분구간으로 잘게 나누어지며, 이 때의 부분구간들의 간격은 공통적으로
로서 서로 같은 크기를 갖게 된다. 그러고 나서 각 부분구간에서 하나의 특정한 샘플 포인트
를 선택하면 다음과 같이 생각할 수 있다.
그래프에서 보이듯 각각의 직사각형들의 높이는
가 된다. 면적이
이기 때문에, 높이와 면적을 이용해서 직사각형의 면적의 크기가 정의되고, 각각의 직사각형들을 모두 모으면 결국 곡선 아래의 면적의 대략적인 값이 나온다. 그 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
정확한 면적을 구하고자 한다면 극한을 이용한다. 부분구간의 개수 n을 무한히 큰 값으로 설정하면 결국 무한히 많은 직사각형들의 면적의 크기를 구하는 문제가 된다.
여기까지가 단일 변수에서 면적의 문제를 이용하여 적분을 정의하는 과정이다.
두 개의 변수로 이루어진 함수,
도 마찬가지로 정의된다. 우린 일변수 함수에 대해서 다룰 때, 구간에 대해서 적분을 했었다. 두 변수 함수에서는 'x와 y의 범위에 대한 함수의 적분'을 부피의 문제로 다루게 된다.(한 번의 적분이 면적이 되듯, 두 번의 적분은 차원이 하나 더 늘어나서 부피가 된다.)
단일 변수에서의 x의 범위는 단순히 선(line)이었다면, 이제 두 변수에서는 x와 y로 이루어진 xy평면상에서의 '면적에 대한 부피의 문제'로 확장된다.
이 때, x와 y의 범위는 각각
,
가 된다고 할 때,
로 나타낼 수 있다.이는
공간상에서 이 문제를 다루려는 것임을 알 수 있게 한다.
이제 다음의 그래프를 통해 부피를 구하고자 함을 명확히 하고자 한다.
그래프에서 보는 바와 같이, xyz공간상의 평면 S와 xy평면상의 영역 R로 보이는 직사각형 평면이 보인다. 이 두 평면 사이의 빈 영역의 부피를 찾는 것이 목표가 된다. 즉 평면 S의 아래이면서 평면 R의 위의 영역을 말하는 것이다.
이 부피를 구하기 위해 단일변수에서의 면적 문제에서 했던 것처럼 수 많은 부분구간으로 나누는 것이 기본 아이디어가 된다.
와
에 대해서 각각 n개의 부분구간과 m개의 부분구간으로 나누어 생각한다. 그럼 평면 R은 곧 n*m개의 부분직사각형들로 쪼개진다. 쪼개어진 각 부분직사각형들에 대해서 단일변수에서 샘플포인터를 선택했던 것과 같이 특정점
를 선택한다. 현재까지의 상황이 다음의 그림에 나온다.
를 선택하는 방법에 있어서는 다양한 선택이 있을 수 있는데, mid point가 대표적인 방법이다. 즉 위의 그래프에서 보이듯, 부분직사각형의 정가운데의 지점을
로 선택하는 것이 하나의 방법이 될 수 있다. 하지만 왼쪽아래(원점과 가까이에 있는 점들)를 선택할 수도 있으며, 오른쪽 위를 선택할 수도 있다. 문제에 따라서 다르다. 중요한 것은 어떤 점을 선택하게 되든, 부분직사각형들로 쪼개어진 평면 R자체가 xy평면에서 다루어진다는 사실이다. 즉 어떤
점을 선택하게 되더라도 xy평면상의 좌표값으로 나오게 된다는 소리이다. 좌표만 잘 구하면 곧 좌표값에 의해
값을 구할 수 있게 되고, 이렇게 구해진 모든 직육면체들을 더한 것이 곧 우리가 구하고자 하는 면적의 문제로서의 적분이 된다.
선택한 점들
에 대해서
값들, 곧 해당 점에서의 높이값들을 구하게 되면 단일변수에서의 면적 문제에서 했던 것과 같이 수 많은 직사각형들은 밑면적을
로 갖고, 높이를
로 갖는, 수 많은 직육면체들로서 발생하게 된다.
즉 직육면체 하나의 면적은
가 되며, x방향과 y방향 모두에 대한 직육면체들의 면적을 구하면 부피가 된다.
더 정확한 부피의 값을 얻고자 한다면 극한을 도입하면 된다.
이 형태는 곧 단일변수에서 적분을 정의했을 때와 같은 형태다. 즉, 이 형태는 곧 적분의 정의다. 따라서 이중적분을 다음과 같이 정의할 수 있다.
이 때 dx, dy대신에 dA를 쓴다는 것이 눈여겨 볼 만한 사항이다.
우리는 면적(dA)에 대해 적분함으로써 부피를 구하게 된다.
여기까지가 부피의 문제로서 정의되는 이중적분이다.
R의 범위에 대하여, 먼저 그래프를 그리는 게 좋다.
그 다음, 좌표값을 구한다.
구한 좌표값을 대입하여 부피값을 구하여 모두 더해준다.
마지막으로
를 구하여 결과를 구한다.
-
이 문제는 오른쪽 위를 특징점으로 잡고 문제를 풀면 된다. xy그래프를 먼저 그리고, 직사각형의 형태로 x의 범위와 y의 범위를 표현하되, m=n=2가 일반적인 방식이다. 즉 x의 범위를 둘로, y의 범위를 둘로 나누어 총 4개의 직사각형이 되도록 만들어 준다. 그 후, 각각의 부분직사각형의 오른쪽 위를 특징점으로 선택하여
값들을 구해주고, 한 개의 부분직사각형의 크기인
의 값을 구하여 곱한 값들을 모두 더한다.
정답은 24로 나온다.
-
이 문제도 1번 문제와 같지만, mid point 방식으로 풀었을 때 풀린다. 또한 m=n=2로 놓아야 풀리는 문제다.
정답은 21/2로 나온다.
\
-
이 문제는 외워야하는 유형이다. 함수의 형태를 보자.
이 형태는 그냥 원의 위쪽 반원 부분이며, 다음과 같이 y방향으로 길게 늘어지는 모양임을 알아야 한다.
이 때 '원의 면적'/2 * y의 구간의 크기가 답이 된다.
정답은 2*pi가 된다.
-
a의 정답은 4,b의 정답은 -19/2이다.
-
정답은 70
-
정답은 -61/16
이거 하나만 기억하면 된다.
면적이 되는 좌표점을 잘 선택하고, 그 좌표점에 해당하는 함수값을 계산 실수 없이 구하고, 부분직사각형의 면적인 dA값을 계산한 후, 부피를 구하면 된다.
