14.2 반복적분(Iterated Integrals)

                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                                   

                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                             

                                                                                                                                                                                                          

14.1 이중적분( Double Integrals)에서 이중적분을 성공적으로 정의했다. 하지만 실제로 이중적분을 계산하여 사용하기엔 무리가 있다. 따라서 의 영역 내에서 이중적분을 쉽게 계산하기 위한 테크닉을 알아야 한다. 그 테크닉은 영역 에서 반복적분을 수행하는 것을 말한다. 즉 현재까지 이중적분을 구할 수 있는 방법은 의 영역에서는 두 가지다. 하나는 의 영역을 부분영역으로 나누어서 구하는 방법, 또 하나는 반복적분을 이용하는 것이다.

 

반복적분은 단순하게 말하자면 다음과 같다.

기본적으로 이 절은 테크닉과 관련있는 절로서 깊은 개념은 없다. 안쪽에 있는 적분을 먼저 적분한 후 그 다음 바깥쪽에 대해 적분한다. 이를 편적분이라고 부른다. 즉 마치 하나의 적분을 계산하는 것과 같이 x를 상수취급한 후 y에 대해서만 적분하고(혹은 그 반대), 그 다음에 바깥쪽의 적분에 대해서도 마찬가지로 행하는 것이다. 특히 위의 식은 푸비니의 정리로서, 무엇을 먼저 적분하든 상관없다는 것을 의미한다. 즉 적분의 순서는 아무 상관이 없다. 그렇기 때문에 적분을 수행하기 쉬운 쪽을 먼저 하는 것이 좋다.

 

위의 식의 경우, 안쪽의 식에 의해 x에 관한 식이 발생하게 되고, 바깥쪽 식에 의해 최종적으로 상수가 나오게 된다. 그래서 다음과 같이 생각할 수 있다.

 

오직 x만의 함수, 그리고 오직 y만의 함수로 이루어진 함수 f(x,y)는 각각의 함수 g(x)와 h(y)의 곱으로 나타낸 단순한 형태를 쓸 수 있다.

 

 

복병은 역시 적분이다. 단일적분에서 했었던 수 많은 적분 테크닉들이 숙달되어 있지 않으면 계산 실수를 하게 된다.

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