Research/미적분학
14.4 극좌표에서의 이중적분(Double Integrals in Polar Coordinates)
by dohk325
2018. 12. 17.
때로는 직교좌표계에서의 영역 R을 다루는 것 보다는, 직교좌표를 극좌표로 전환한 극좌표계에서의 영역 R을 이용하여 이중적분을 수행하는 것이 더 쉬울 수 있다.
직교좌표와 극좌표간의 관계는 다음과 같음을 상기한다.
직교좌표가 아닌 극좌표계에서 영역 R을 다루게 된다면, 영역 R은 다음과 같이 r과 theta에 대한 범위로 바뀐다.
우리는 이전의 장들에서 이중적분을 구하기 위해서 영역R을 부분영역으로 나누었다. 이와 마찬가지로, 극좌표계에서의 영역R을 부분영역으로 나누어 다루도록 한다. 극좌표계에서의 영역R은 다음 그림과 같은 부채꼴의 모습을 기본으로 한다.
부채꼴의 모습을 한 영역 R을 부분영역으로 나누어 하나의 부분영역에 대한 넓이를 구해야 한다. 즉 다음의 그림의 상황에서처럼 부분영역Rij에 대한 넓이를 구해야 한다.
부분영역 Rij는 
로 범위가 주어진다. 또한 반지름이 r이고 중심각이 theta인 부채꼴의 넓이는 1/2*r^2*theta라는 사실을 이용해서 
와 ri를 갖는 부채꼴의 넓이에서 와 ri-1을 갖는 부채꼴의 넓이를 빼서 Rij에서의 부분영역의 넓이를 구한다. 여기서 는 
와 
의 차이이다. 넓이를 구하면 다음과 같다.
는 부분영역 Rij의 중심으로서, 다음과 같다.
따라서 최종적으로 다음과 같이 깔끔한 형태의 '극좌표에서의 이중적분'에 대한 지식을 얻을 수 있다.
즉 직교좌표계에서 주어진 x를 
로, y를 
로 바꾸고, dA는 
로 바꾸어주면 극좌표계에서의 이중적분을 할 수 있는 식이 만들어진다.
에 대한 또 다른 통찰은 다음과 같다. 아주아주 작은 부분영역 Rij에 대하여 
와 
은 r에 가깝다. 따라서 직사각형(rectangle)로 보아도 무방하다. 그럴 경우, 
는 결국 r이 된다. 따라서 
는 
가 된다.
이제 일반적인 부채꼴 모양이 아닌 다음의 모양처럼 좀 더 복잡한 모양의 도형에 대해서도 이중적분을 해보고자 한다.
이와 같이 좀 더 복잡한 형태의 영역 D에 대해서도 극좌표를 이용하여 이중적분을 수행하기 위해서는 다음의 두 정리를 합성한다.
위의 두 정리를 합성하면 다음의 정리로 나타낼 수 있다.
특히 위의 식에서 
=1이고, 
=0, 
=h(theta)라면, 넓이가 1인 면적에 대한 부피를 구하는 문제가 되며, 2차원 도형의 넓이를 구하는 문제와 동일해진다.
위의 문제를 풀기 위해 다음을 참고한다.
면적을 구하는 문제이기 때문에, 높이를 1로 설계했다는 점에 유의해야 한다.
