이 영역에 대한 이중적분은 
이다.
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Research/미적분학
14.3 일반 영역 위의 이중적분(Double Integrals Over General Regions)
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14.1절과 14.2절에서 우리는 직사각형의 영역에 대해서 이중적분을 수행했다. 14.3절에서는 직사각형의 영역뿐만 아니라 좀 더 일반적인 영역 R에 대해서 이중적분을 수행하게 된다. 하지만 일반적인 영역 R에 대해 이중적분을 수행할 때 우리는 직사각형 모양의 임의의 영역을 설정하여 구하게 된다.
위 그림에서 보는바와 같이 임의의 영역 D에 대해서 이중적분을 수행하고자 할 때 파란색의 직사각형을 D의 경계에 fit하게 위치시킨 것을 볼 수 있다. 특히 위의 그림에서 보는바와 같이 x의 영역 a와 b에 대해서 직사각형이 접하고 있을 땐, y의 범위가 x에 대한 함수인 g(x)의 형태로 나타나게 된다. 즉 곡선의 모양인 y는 함수로서 나타낼 수 있으며, 이에 대한 이중적분은 다음과 같이 나타난다.
그 반대의 경우인 x의 범위가 y에 대한 함수로 주어지는 경우로도 이중적분을 계산할 수 있다.
정리하자면, 다음의 두 가지의 경우로 문제를 설계할 수 있다.
이 때 집합 표현을 이용해서 해당 영역들을 표현하게 된다. Case 1에 대한 범위의 정의는 다음과 같이 표현한다. 이 영역에 대한 이중적분은 이다.
이 영역에 대한 이중적분은 이다.Case 2의 경우, 범위는 다음과 같다.
Case 2에 대한 이중적분은 따라서 다음과 같다.
문제를 풀 때, 그래프는 되도록 그리는 것이 편하다. 그래프를 그림으로써 어떤 방식을 쓸지를 결정할 수 있기 때문이다. 다음의 그래프의 경우엔, y가 x에 대한 함수로 주어지는 경우이므로, y에 대해 먼저 적분해야 한다. 또한 그래프를 그리는 것은 교점을 찾으면서 문제를 풀어나가는 데에도 도움이 된다.
이중적분의 주요한 성질은 6가지가 있으며, 다음과 같다.
위의 성질은 우리가 개념에서 다루었던 두 가지 형태로 풀 수 없는 형태의 영역인 경우에 대해서도 풀 수 있는 방법을 제공한다. 영역 D가 영역 D1과 D2로 나누어질 수 있으며 두 영역이 겹치는 부분이 없을 때, 위의 성질을 활용할 수 있다.
위의 성질은 높이가 1인 모형의 부피가 밑면의 넓이와 같다는 것을 의미한다. 다음의 설명을 참고한다.
위의 성질은 이중적분의 정확한 값이 아닌 추정값을 구하는 데에 쓰인다.
이중적분의 순서를 바꾸는 것은 때론 계산을 더 쉽게 하는데 도움이 된다. 다만, 순서를 바꾸기 위해서는 영역 D에 대한 지식이 필요하다. 즉, 범위에 대한 재정의가 필요하다. 아래의 예시를 참고한다.
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