가측공간과 가측집합

                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                                                   

                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                                              

가측 공간이란 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들에 족이 부여된 집합이다.

 

가측 집합이란, 먼저 측도의 개념부터 살펴야 하는데,

측도란 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.

즉 가측 집합이란, 측도의 정의에서 나오는 특정 부분 집합을 말한다고 생각한다. 다시 말해, 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피와 같은 셀 수 있는 원소로 이루어진 부분 집합들을 가측 집합이라고 하며 그 집합들의 모임이 가측 공간이라고 생각한다.

 

즉 가측 집합에는 일정한 크기가 부여되어 있고

그 크기가 가산개로 쪼개어질 수 있어서 계산가능한 상태의 집합을 말하는 것이라고 생각할 수 있는데, 그럼 측도 공간과의 차이는 무엇인가?

 

측도 공간은 가측 공간을 포함하며 가측 공간은 가측 집합을 포함하는 개념인 것 같다.

측도 공간은 가측 집합(특정한 부분 집합)에 일정한 크기를 부여하여 가산개로 쪼개어 계산 가능한 상태로 만든 기능이 부여된 공간이고, 그러한 가측 집합의 모임이 가측 공간인 것이다.